Офисный ксерокс используют 5 служащих. Среднее время между двумя моментами его использования для каждого из служащих равно 40 мин. В среднем служащий занимает ксерокс на 5 мин. Используя мо­дель М/М/1 с ограниченным множеством требований, определите:

·  вероятность того, что ксерокс простаивает;

·  среднее число служащих в очереди;

·  среднее число служащих в комнате, где стоит ксерокс;

·  среднее время ожидания;

·  среднее время нахождения в комнате с ксероксом.

Сколько времени за восьмичасовой рабочий день тратит служащий на данную операцию?

Стоит ли компании приобретать второй ксерокс? Ответ обосновать.

В распоряжении магазина находится 10 грузовиков. Грузовики при­бывают в магазин в случайном порядке в течение дня для погрузки / раз­грузки. Каждый грузовик прибывает на обслуживание дважды за 8‑ча­совой рабочий день. Средняя скорость обслуживания – 4 грузовика в час. Модель прибытия требований – пуассоновская, модель времени об­служивания – экспоненциальная. Определите:

·  вероятность того, что ни один грузовик не ожидает погрузки / раз­грузки;

·  среднее число грузовиков в очереди;

·  среднее число грузовиков у магазина (грузовики в очереди и на погрузке / разгрузке);

·  среднее время ожидания.

Каковы часовые издержки по функционированию системы, если в 1 час издержки на каждый грузовик равны 50 тыс. руб., а на работы с грузовиками – 30 тыс. руб.?

Клиенты приходят к парикмахеру со средней скоростью 2,3 чело­века в час. Парикмахер в среднем способен обслужить 3 человека в час. Наблюдения показывают, что в среднем клиент ждет 25 мин.

Чему равны средние скорости прибытия и обслуживания, выраженные в клиентах в минуту?

Какова средняя длина очереди?

Офисный принтер используют 10 служащих. Среднее время между двумя моментами его использования для каждого из служащих равно 20 мин. В среднем служащий занимает ксерокс на 5 мин. Используя модель М/М/1 с ограниченным множеством требований, определите:

·  вероятность того, что принтер простаивает;

·  среднее число служащих в очереди;

·  среднее число служащих в комнате, где стоит принтер;

·  среднее время ожидания;

·  среднее время пребывания в комнате с принтером.

Сколько времени за семичасовой рабочий день тратит служащий на данную операцию?

Стоит ли компании приобретать второй принтер? Объясните.

1. Что такое одноканальная система?

2. Что такое однофазовая система?

3. Что такое очередь?

4. Что такое распределение времени обслуживания?

5. Что означает и как определяется среднее время в очереди?

6. Что означает и как определяется среднее время в системе?

7. Что означает и как определяется среднее число клиентов в очереди?

8. Что означает и как определяется среднее число клиентов в системе?

9. Что означает и как определяется средний темп поступления заявок?

10. Что означает и как определяется средняя длина очереди?

Цель работы: освоить и закрепить практические навыки по использованию моделей управления запасами.

Запасами называется любой ресурс на складе, который используется для удовлетворения будущих нужд. Примерами запасов могут служить полуфабрикаты, готовые изделия, материалы, различные товары, а также такие специфические товары, как денежная наличность, находящаяся в хранилище. Большинство организаций имеют примерно один тип системы планирования и контроля запасов. В банке используются методы контроля за количеством наличности, в больнице применяются методы контроля поставки различных медицинских препаратов.

Существует много причин, побуждающих организации создавать запасы.

Существует проблема классификации имеющихся в наличии запасов. Для решения этой задачи используется методика административного наблюдения. Цель ее заключается в определении той части запасов предприятия, которая требует наибольшего внимания со стороны отдела снабжения. Для этого каждый компонент запасов рассматривается по двум параметрам: а) его доля в общем количестве запасов предприятия; б) его доля в общей стоимости запасов предприятия.

Методика 20/80 – в соответствии с этой методикой компоненты за­паса, составляющие 20% его общего количества и 80% его общей стои­мости, должны отслеживаться отделом снабжения более внимательно.

Методика ABC: в рамках этой методики запасы, имеющиеся в распоряжении предприятия, разделяются на три группы: группу А (10% общего количества запасов и 65% его стоимости); группу В (25% общего количества запасов и 25% его стоимости); группу С (65% общего ко­личества запасов и около 10% его стоимости).

Необходимо отметить, что классификация запасов может быть основана не только на показателях доли в общей стоимости и в общем количестве. Преимущества методики деления видов запасов на классы заключаются в возможности выбора порядка контроля и управления для каждого из них.

Рассмотрим определяющие понятия теории управления запасами.

Издержки выполнения заказа (издержки заказа) – накладные расходы, связанные с реализацией заказа. В промышленности такими издержками являются затраты на подготовительно-заготовочные операции.

Издержки хранения – расходы, связанные с физическим содержанием товаров на складе, плюс возможные проценты на капитал, вложенный в запасы. Обычно они выражаются или в абсолютных единицах, или в процентах от закупочной цены и связываются с определенным промежутком времени.

Упущенная прибыль – издержки, связанные с неудовлетворенным спросом, возникающим в результате отсутствия продукта на складе.

Совокупные издержки за период представляют собой сумму издержек заказа, издержек хранения и упущенного дохода. Иногда к ним прибавляются издержки на покупку товаров.

Срок выполнения заказа – срок между заказом и его выполнением. Точка восстановления – уровень запаса, при котором делается новый заказ.

Предпосылки: 1) темп спроса на товар известен и постоянен; 2) по­лучение заказа мгновенно; 3) отсутствуют количественные скидки при закупке больших партий товара; 4) единственные меняющиеся параметры – издержки заказа и хранения; 5) исключается дефицит в случае сво­евременного заказа.

Исходные данные: темп спроса, издержки заказа и хранения.

Результат: оптимальный размер заказа, время между заказами и их количество за период.

Следовательно, нужно найти объем запасов, при котором необходимо делать новый заказ.

Исходные данные: темп спроса, издержки заказа и хранения, время выполнения заказа.

Результат: оптимальный размер заказа, время между заказами, точка восстановления запаса.

Необходимо найти точку восстановления.

Исходные данные: темп спроса, издержки заказа и хранения, упущенная прибыль.

Результат: оптимальный размер заказа, время между заказами, точка восстановления запаса.

Необходимо рассматривать уровень ежедневного производства и уровень ежедневного спроса.

Исходные данные: темп спроса, издержки заказа, хранения и упущенная прибыль, темп производства.

Результат: оптимальный уровень запасов (точка восстановления запаса).

Появляется возможность количественных скидок в зависимости от размера заказа. Рассматривается зависимость издержек хранения от цены товара. Оптимальный уровень заказа определяется исходя из условия минимизации общих издержек для каждого вида скидок.

Вместо предпосылки о постоянстве и детерминированности спроса на товар используется более реалистичный подход о предполагаемой известности распределения темпа спроса и времени выполнения заказа.

Рассмотрим подробнее модели с фиксированным размером заказа:

Модель 1. Модель наиболее экономичного размера заказа. Заказ, пополняющий запасы, поступает как одна партия. Уровень запасов убы­вает с постоянной интенсивностью, пока не достигает нуля. В этой точке поступает заказ, размер которого равен Q, и уровень запасов восстанав­ливается до максимального значения. При этом оптимальным решением задачи будет тот размер заказа, при котором минимизируются общие издержки за период (рис. 8.1).

Рис. 8.1. Модель 1. Модель наиболее экономичного размера заказа

Пусть Q – размер заказа; Т – протяженность периода планирования; D – величина спроса за период планирования; d – величина спроса в единицу времени; К – издержки заказа; Н – удельные издержки хранения за период; h – удельные издержки хранения в единицу времени. Тогда:

(D/Q)K – совокупные издержки заказа;

(Q/2)H – совокупные издержки хранения;

d=D/T; h=H/T;

Q*=(2dK/h)^1/2 (2DK/H)^1/2 – оптимальный размер заказа;

N=D/Q* – оптимальное число заказов за период;

t*=Q*/d=T/N – время цикла (оптимальное время между заказами).

Модель 2. Введем предположение о том, что заказ может быть получен не мгновенно, а с течением времени. Тогда нам необходимо заранее делать заказ, чтобы в нужное время иметь достаточное количество товара на складе. Следовательно, нам необходимо найти тот уровень запасов, при котором делается новый заказ. Этот уровень называется точкой восстановления R. Пусть L – время выполнения заказа. Тогда R – величина спроса в единицу времени, умноженная на время выполнения заказа (d×L). Другие характеристики системы определяются так же, как и в модели 1. Модель иллюстрируется на рис. 8.2.

Рис. 8.2. Модель 2

Андрей является торговым агентом компании «VOLVO» и занимается продажей последней модели этой марки автомобиля.

Годовой спрос оценивается в 4000 ед. Цена каждого автомобиля равна 90 млн руб., а годовые издержки хранения составляют 10% от цены самого автомобиля.

Андрей произвел анализ издержек заказа и понял, что средние издержки заказа составляют 25 млн руб. на заказ. Время выполнения заказа равно восьми дням. В течение этого времени ежедневный спрос на автомобили равен 20.

Необходимо в процессе решения данного примера ответить на следующие вопросы:

1. Чему равен оптимальный размер заказа?

2. Чему равна точка восстановления?

3. Каковы совокупные издержки?

4. Каково оптимальное количество заказов в год?

5. Каково оптимальное время между двумя заказами, если предположить, что количество рабочих дней в году равно 200?

Ниже приведено описание исходных данных и результаты решения контрольного примера с использованием условных обозначений.

Исходные данные:

величина спроса за год D=4000;

издержки заказа К=25;

издержки хранения =9/200;

цена за единицу с=90;

время выполнения заказа L=8;

ежедневный спрос d=20;

число рабочих дней Т=200.

Решение:

оптимальный размер заказа Q*=149;

точка восстановления R=160–149=11;

число заказов за год N=26,83;

совокупные издержки С=1341;

стоимость продаж =360 000;

число дней между заказами t=7,45.

Модель 3. Модель оптимального размера заказа в предположении, что допускается дефицит продукта и связанная с ним упущенная прибыль (рис. 8.3).

Рис. 8.3. Модель 3

Пусть р – упущенная прибыль в единицу времени, возникающая в результате дефицита одной единицы продукта; Р – упущенная прибыль за период, возникающая в результате дефицита одной единицы продукта.

Тогда: Q*=(2dK/h)^1/2×((р+h)/р)^1/2=(2DK/H)^1/2×((Р+Н)/P)^1/2 – оптималь­ный размер заказа; S*=(2dK/h)^1/2×(р/(h+р))^1/2=(2DK/H)^1/2×(P/(H+P))^1/2 – мак­симальный размер запаса; R=Q*–S* – максимальный дефицит.

Модель 4. Модель производства и распределения. В предыдущей модели мы допускали, что пополнение запаса происходит единовременно. Но в некоторых случаях, особенно в промышленном производстве, для комплектования партии товаров требуется значительное время, и производство товаров для пополнения запасов происходит одновременно с удовлетворением спроса. Такой случай показан на рис. 8.4.

Рис. 8.4. Модель 4

Спрос и производство являются частью цикла восстановления запасов. Пусть u – уровень производства в единицу времени, К – фиксированные издержки производства.

Тогда:

совокупные издержки хранения = (средний уровень запасов)×Н=
=Q/2[1-d/u] Н;

средний уровень запасов = (максимальный уровень запасов)/2;

максимальный уровень запасов =u×t–d×t=Q(l–d/u);

время выполнения заказа t=Q/u;

издержки заказа =(D/Q)×К;

оптимальный размер заказа Q*=(2dK/h×[(l-(d/u)])^1/2=(2DK/H[(l-(d/u)])^1/2;

максимальный уровень запасов S*=Q*[(l-(d/u)].

Модель 5. Модель с количественными скидками. Для увеличения объема продаж компании часто предлагают количественные скидки сво­им покупателям.

Количественная скидка – сокращенная цена на товар в случае покупки большого количества этого товара. Типичные примеры количественных скидок приведены в табл. 8.1.

Таблица 8.1

Пусть I – доля издержек хранения в цене продукта с.

Тогда h=(I×c) и Q*=(2dK/(I×c))^1/2 – оптимальный размер заказа.